PENGERTIAN DAN RUANG LINGKUP STATISTIKA

PENGERTIAN DAN RUANG LINGKUP STATISTIKA

Pengertian

Statistik adalah pernyataan untuk sekumpulan data, umumnya berbentuk angka-angka yang disusun dalam tabel dan atau diagram yang melukiskan atau menggambarkan suatu persoalan.

Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan serta penganalisisnya, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang cukup beralasan berdasarkan fakta dan penganalisaan yang dilakukan.

Statistika dapat dibedakan dalam dua bidang masalah pokok

1)      Statistika deskriptif yaitu bidang ilmu pengetahuan statistika yang mempelajari tata cara penyusunan dan penyajian data yang dikumpulkan dalam suatu penelitian.

2)      Statistika induktif atau statistika inferensial yaitu bidang ilmu pengetahuan statistika yang mempelajari tata cara penarikan kesimpulan-kesimpulan mengenai keseluruhan populasi, berdasarkan data yang ada dalam suatu bagian dari populasi tersebut.

Data Statistik

·         Keterangan atau ilustrasi mengenai sesuatu hal bisa berbentuk kategori atau bisa berbentuk bilangan.

·         Data kuantitatif adalah data yang berbentuk bilangan, harganya berubah-ubah atau bersifat variabel.

·         Data kualitatif adalah data yang bukan kuantitatif atau data yang dikategorikan menurut lukisan kualitas objek yang dipelajari atau dikenal dengan nama atribut.

Populasi dan Sampel

·            Populasi adalah totalitas semua nilai yang mungkin, hasil menghitung ataupun pengukuran, kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik tertentu dari sekumpulan objek yang lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifat-sifatnya.

·            Sampel adalah sebagian yang diambil dari populasi.

Sampel itu harus representatif artinya segala karakteristik populasi hendaknya tercermin dalam sampel yang diambil.

Pengumpulan data

·            Proses pengumpulan data dapat dilakukan dengan jalan sensus atau sampling.

·            Mengadakan penelitian langsung ke lapangan atau di laboratorium terhadap objek penelitian.

·            Mengambil atau menggunakan sebagian atau seluruhnya dari sekumpulan data yang telah dicatat atau dilaporkan oleh badan atau orang lain.

·            Mengadakan angket, yakni cara pengumpulan data dengan menggunakan daftar isian atau daftar pertanyaan yang telah disiapkan dan disusun sehingga calon responden hanya tinggal mengisi atau menandainya dengan mudah dan cepat.

Pengukuran dan bermacam-macam skala

1. Pengukuran (Measurement)

•       Measurement is the assignment of numerals to represent properties of  material system other than number, in virtue of the laws governing these properties (Camphell).

•       Measurement is the assignment of numerals to objects or events according to rules (Stevens).

2. Scaling

            Procedure for assignment of numbers (or other symbols) to property of object in order to impart some of the characterstics of numbers to the properties in question (Phillips).

3.      Tingkat Pengukuran (Level of Measurement

1. Nominal

            Bilangan semata-mata hanya sebagai lambang untuk membedakan.

2. Ordinal

            (1) bilangan sebagai lambang

            (2) bilangan mengisyaratkan peringkat (rank)

3. Interval

            (1) bilangan sebagai lambang

            (2) bilangan mengisyaratkan peringkat

            (3) bilangan menyatakan jarak

            (4) titik nol bukan titik mutlak

4. Rasio

            (1) bilangan sebagai lambang

            (2) bilangan mengisyaratkan peringkat

            (3) bilangan menyatakan jarak

            (4) titik nol merupakan titik mutlak

Tipe Skala Pengukuran

Para ahli sosiologi membedakan dua tipe skala menurut fenomena sosial yang diukur yaitu :

1. skala pengukuran untuk mengukur perilaku susila dan kepribadian(skala sikap, skala moral, tes karakter, skala partisipasi sosial)
2. Skala pengukuran untuk mengukur berbagai aspek budaya lain dan lingkungan sosial (status sosial ekonomi, lembaga-lembaga sosial, kemasyarakatan, kondisi kerumahtanggaan).

Skala sikap yang sering digunakan

1. Skala Likert (untuk mengukur sikap, pendapat, persepsi seseorang atau sekelompok orang tentang fenomena sosial)
2. Skala Guttman (untuk mendapat jawaban yang tegas terhadap permasalahan yang ditanyakan)
3. Rating Scale (untuk mendapat jawaban kuantitatif dari penafsiran dalam pengertian kualitatif)
4. Semantic Differential (untuk mengukur jawaban pada satu garis kontinum)
5. Skala Thurstone (untuk mengukur responden berdasarkan ciri atau kriteria tertentu)

PENYAJIAN DATA

Garis besarnya ada dua cara penyajian data yang sering dipakai ialah tabel atau daftar dan diagram atau grafik.

•       Macam-macam daftar :

1. Daftar baris kolom
2. Daftar kontingensi
3. Daftar distribusi frekuensi

•       Macam-macam diagram :

1. Diagram batang
2. Diagram garis
3. Diagram lambang atau diagram simbul
4. Diagram pastel dan diagram lingkaran
5. Diagram peta atau kartogram
6. Diagram pencar atau diagram titik

•       Contoh sebuah Tabel

•       Contoh sebuah Tabel Kontingensi 4X4
NILAI UJIAN MATEMATIKA DAN STATISTIKA

•       Contoh sebuah Tabel Distribusi Frekuensi
UMUR MAHASISWA UNIV. X (DALAM TAHUN)

•       Contoh sebuah Diagram Batang

•       Contoh sebuah Diagram Garis

•       Contoh sebuah Diagram Lingkaran

•       Contoh sebuah Diagram Pencar atau Diagram Titik

•       DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI DAN GRAFIKNYA

1. Tentukan rentang, ialah data terbesar dikurangi data terkecil.
2. Tentukan banyak kelas interval (biasanya minimal 5 kelas, maksimal 15 kelas), dapat menggunakan aturan Sturges, yaitu : banyak kelas = 1 + (3,3) log n, dengan n menyatakan banyak data.
3. Tentukan panjang kelas interval p, secara ancer-ancer ditentukan oleh aturan : p = rentang/banyak kelas.
4. Pilih ujung bawah kelas interval pertama. Bisa diambil sama dengan data terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya  harus kurang dari panjang kelas yang telah ditentukan.
5. LATIHAN membuat Tabel Distribusi Frekuensi dan grafiknya (Histogram dan Poligon Frekuensi)
6. Pendapatan tahunan untuk 90 responden (jutaan rupiah)

            34   30  34  25  33  26  28   38  32  33           

            36        23  33  29  36  49   39  29  41  45

            40   27   45  22  39 31   37  32  43  19

            15   46   31  33  43  27  26  36  24  16

            23   40   33  34  48  35  37  34  28  42

            39   51  30  45   31  35  26  33  29  28

            24   31   47  27  21  32  25  38  36  18

            18   20  37   21  30  35  24  38  22  29

            30   41   30  36  32  31  42  34  35  28

Contoh : Histogram dan Poligon Frekuensi
(Nilai Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa)

Model Populasi
(Kurva frekuensi = Lengkungan halus yang mendekati bentuk poligon)

•       Model Normal

•       Model Simetrik

•       Model Positif

•       Model Negatif

•       Bentuk J

•       Bentuk J terbalik

•       Bentuk U

Tabel : Pendapatan tahunan 90 responden

Pendapan Tahunan (jutaan rupiah)	Frekuensi
15 – 19	5
20 – 24	10
25 - 29	16
30 – 34	26
35 – 39	17
40 – 44	8
45 – 49	7
50 – 54	1
Jumlah	90

Pendapatan Tahunan 90 Responden

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK

•       UKURAN GEJALA PUSAT :

•       Rata-rata atau rata-rata hitung

•       Rata-rata ukur

•       Rata-rata harmonik

•       Modus

•       UKURAN LETAK :

•       Median

•       Kuartil

•       Desil

•       Persentil

UKURAN SIMPANGAN, DISPERSI DAN VARIASI

•       Rentang

•       Rentang antar kuartil

•       Simpangan kuartil atau deviasi kuartil

•       Rata-rata simpangan atau rata-rata deviasi

•       Simpangan baku atau deviasi standar

•       Varians

•       Koefisien variasi

RUMUS-RUMUS UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK

•       Rata-rata atau rata-rata hitung (Xbar=∑Xi/n=∑fiXi/∑fi=Xo+p(∑fiCi/∑fi)

•       Rata-rata ukur

•       Rata-rata harmonik

•       Modus(Mo=b+p(b1/b1+b2)

•       Median(Me=b+p(½n-F/f)

•       Kuartil (letak Ki=data ke i(n+1)/4) = (Ki=b+p(in/4 – F/f)

•       Desil (letak Di=data ke i(n+1)/10)=(Di=b+p(in/10-F/f)

•       Persentil (letak Pi=data ke i(n+1)/100)=(Pi=b+p(in/100-F/f)

RUMUS-RUMUS UKURAN SIMPANGAN, DISPERSI DAN VARIASI

•       Rentang (data terbesar-data terkecil)

•       Rentang antar kuartil (RAK=K3-K1)

•       Simpangan kuartil atau deviasi kuartil {SK=½(K3-K1)}

•       Rata-rata simpangan atau rata-rata deviasi {RS=∑|Xi-Xbar|/n}

•       Simpangan baku atau deviasi standar {s= Ѵs²}

•       Varians {s²=n∑xi²-(∑xi)²/n(n-1)=n∑fixi²-(∑fixi)²/n(n-1) = p²(n∑fici²-(∑fici)²/n(n-1)}

•       Koefisien variasi (KV=simpangan baku/rata-rata kali 100%)

•       Bilangan baku (Zi = Xi-Xbar/s)

PENGANTAR PROBABILITAS

Definisi probabilitas (definisi klasik)

            Misalkan suatu peristiwa E dapat terjadi sebanyak h cara dari total n cara yang sama-sama mungkin, maka probalilitas atau kemungkinan kemunculan peristiwa tersebut (disebut sebagai kesuksesan atau keberhasilan) dinyatakan sebagai p=P(E)=h/n sementara probabilitas dari ketidakmunculan peristiwa tersebut (disebut sebagai kegagalan) dinyatakan sebagai q=P(bukanE=Ē)=n-h/n=1-h/n=1-p=1-P(E).

             

Definisi Frekuensi-Relatif

•       Probabilitas Empiris dari sebuah peristiwa diambil sebagai frekuensi relatif dari kemunculan peristiwa di saat jumlah pengamatannya sangat besar. Probabilitas itu sendiri adalah batas dari frekuensi relatif pada saat jumlah pengamatannya bertambah menuju tak-terhingga.

•        

Beberapa Aturan Probabilitas

•       0≤P(E)≤1

•       P(E)+P(bukan E)=1, peristiwa E dan bukan E saling berkomplemen

•       P(E1 atau E2 atau ... atau Ek)=P(E1)+P(E2)+...+P(Ek),  peristiwa saling eksklusif atau saling asing

•       P(A dan B)=P(A).P(B), peristiwa bebas

•       P(A dan B)=P(B).P(A|B), peristiwa bersyarat

•       P(A dan atau B)=P(A)+P(B)-P(A dan B), peristiwa inklusif

EKSPEKTASI MATEMATIS

•         Misalkan sebuah eksperimen yang menghasilkan k buah peristiwa dapat terjadi. Probabilitas terjadinya tiap peristiwa masing-masing p1,p2, ... , pk dan untuk tiap peristiwa dengan probabilitas tersebut terdapat satuan-satuan d1,d2, ... , dk. Satuan-satuan itu bisa nol, positif, negatif dan tentunya p1+p2+ ... +pk=1, maka ekspektasi matematis ε = p1d1+p2d2+ ... +pkdk =∑pidi .

Contoh soal

•       Sebuah kelas terdiri dari 20 pelajar, 12 orang beragama Islam diantara mereka. Sepuluh orang berasal dari keluarga petani. Diantara pelajar yang beragama Islam itu, ada tepat 4 yang berasal dari kelurga petani. Seorang pelajar dipilih secara random. Misalkan A peristiwa “pelajar beragama Islam” dan B peristiwa “pelajar berasal dari keluarga petani”. Hitunglah P(A dan atau B)?

•       Sebuah kelas terdapat 13 pelajar laki-laki dan 11 pelajar perempuan. Kepada mereka ditanyakan apakah mereka kelak ingin menjadi guru?. Misalkan 3 anak laki-laki dan 3 anak perempuan menjawab “ya”, 8 anak laki-laki dan 4 anak perempuan menjawab “tidak” dan 2 anak laki-laki dan 4 anak perempuan menjawab “belum tahu”. Bila secara random seorang dari kelas itu dipilih, berapa besar probabilitas bahwa yang terpilih adalah seorang pelajar laki-laki yang tidak ingin menjadi guru?

•       Probablilitas seorang suami akan hidup 10 tahun lagi 0,84 dan probabilitas isterinya akan hidup 10 tahun lagi 0,79. Tentukan probabilitasnya akan hidup 10 tahun lagi : suami isteri kedua-duanya, si suami saja, si isteri saja, paling sedikit seorang diantara suami isteri itu.

PERMUTASI

•       Apabila suatu tindakan berupa pemilihan acak sebanyak r objek dari sebanyak n objek, banyaknya hasil yang mungkin adalah :

            nx(n-1)x(n-2)x...x (n-(r-1))

•       Banyaknya hasil dari pemilihan acak sebanyak r objek dari sebanyak n objek ditulis sebagai permutasi r dari n,

            P ⁿ_r   = n!/(n-r)!

Ilustrasi Permutasi

•       Banyaknya nomor dengan 4 digit bilangan 0-9 yang dapat dibuat, dengan syarat tidak ada nomor yang sama,  P = 10!/(10-4)!= 5040

•       Banyaknya hasil yang mungkin apabila memilih tiga orang pelamar dari 10 orang pelamar untuk menempati tiga posisi yang berbeda, P = 10!/(10-3)! = 720

KOMBINASI

•       Apabila dalam pemilihan acak sebanyak r objek dari sebanyak n objek, urutan munculnya hasil tidak diperhatikan, misalnya abc=acb=bac=bca=cab=cba, maka banyaknya hasil yang mungkin adalah :

            nx(n-1)x(n-2)x...x(n-(r-1))/rx(r-1)x(r-2)x...x2x1

•       Banyaknya hasil dari pemilihan acak sebanyak r objek dari sebannyak n objek, tanpa memperhatikan urutan hasil, ditulis sebagai kombinasi r dari n,  Cⁿ _r  =n!/r!(n-r)!

Ilustrasi Kombinasi

•       Banyaknya 4 kartu yang dapat dipilih dari 10 kartu bertuliskan bilangan 0-9;   

            C = 10!/4!(10-4)! = 210

•       Banyaknya hasil yang mungkin apabila memilih tiga orang calon ke dalam suatu daftar pendek (sort-list) dari 10 orang bakal calon untuk dipilih:

            C = 10!/3!(10-3)! = 120

DISTRIBUSI PROBABILITAS DAN NILAI HARAPAN

•       Misalkan suatu populasi terdiri dari usia 5 orang : A, B, C, D, E. A berumur 17 tahun, B berumur 18 tahun, C berumur 18 tahun, D berumur 19 tahun, dan E berumur 16 tahun. Apabila dari populasi ini ditarik sampel yang terdiri dari 2 unsur secara random tanpa pengembalian . Buatlah distribusi probabilitas dan nilai harapannya (rata-rata dan simpangan baku)

VARIABEL ACAK

Nilai-nilai variabel yang dicatat dalam suatu sampel acak adalah nilai-nilai dari titik-titik sampel yang masuk kedalam suatu sampel. Nilai variabel ini merupakan realisasi hasil dari suatu tindakan berpeluang, dan mengekspresikan suatu kejadian acak. Variabel demikian, yang nilai-nilainya muncul menurut peluangnya masing-masing dinamakan sebagai variabel acak (random variable).

DEFINISI VARIABEL ACAK

Variabel acak didefinisikan sebagai fungsi yang memetakan anggota-anggota ruang sampel pada gugus bilangan nyata. Dalam pelemparan koin, variabel acak X dapat didefinisikan , misalnya 1 jika G dan 0 jika A, sehingga X akan bernilai 0 atau 1, X={0,1}. Dalam pelemparan tiga koin, variabel Y dapat didefinisikan sebagai banyaknya sisi gambar yang diperoleh, sehingga Y akan bernilai 0 jika tanpa sisi gambar atau semua angka, 1 jika sisi gambar, 2 jika dua sisi gambar, dan 3 jika semua sisi gambar muncul, Y={0,1,2,3}.

DISTRIBUSI VARIABEL ACAK

Pada pelemparan tiga koin, dengan delapan hasil yang mungkin yaitu {AAA,AAG,AGA,GAA,GGA,GAG,AGG,GGG|A= sisi angka,G= sisi gambar}, apabila ketiga mata uang tsb setimbang, maka peluang  X bernilai 0 yang ditulis P(X=0) adalah 1/8, selanjutnya P(X=1)=3/8,P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8. Distribusi variabel acak (tabel berikut) menampilkan nilai-nilai variabel acak beserta peluangnya masing-masing. Distribusi variabel acak ditampilkan secara visual dalam bentuk histogram.

Variabel Acak Pemunculan Angka pada Tiga Lemparan koin

No	X	P(X=x)
1	0	1/8
2	1	3/8
3	2	3/8
4	3	1/8
Total		1

Histogram Distribusi Variabel Acak Pemunculan Angka Tiga

 Lemparan Koin

FUNGSI PELUANG

•         Variabel pengukuran (kuantitatif), yaitu variabel yang dihasilkan melalui proses pengukuran dengan menggunakan alat ukur tertentu menghasilkan variabel acak kontinu.

•         Sebagai suatu distribusi peluang, fungsi peluang mempunyai sifat-sifat :

1. jumlah nilai fungsi  interval variabel tertentu sekurang-kurangnya 0 dan sebesar-besarnya  1 ;  0≤∫f(x)dx≤1.
2. jumlah nilai fungsi seluruh wilayah X adalah 1;  ∫f(x)dx=1
3. jumlah nilai fungsi seluruh seluruh wilayah diluar X adalah 0; ∫f(x)dx=0

NILAI HARAPAN DAN VARIANS VARIABEL ACAK

Nilai harapan variabel acak diskrit X, dilambangkan dengan E(X),didefinisikan sebagai jumlah hasil kali nilai variabel acak dengan masing-masing peluangnya. Nilai harapan fungsi peluang kontinu X adalah jumkah hasil kali x dengan f(x), pada semua interval variabel acak yang terdefinisi untuk X,

X diskrit,  E(X)=∑XP(X=x)

X kontinu, E(X)=∫xf(x)dx

nilai harapan suatu variabel acak merupakan pusat variabel acak dan sering dinamakan nilai tengah populasi, dilambangkan dengan μ.

NILAI HARAPAN DAN VARIANS VARIABEL ACAK

Nilai harapan kuadrat simpangan variabel acak (X-μ)² adalah jumlah hasil kali kuadrat simpangan variabel acak dari µ dengan masing-masing peluangnya, atau jumlah hasil kali (X-µ)² dengan f(x), pada semua interval variabel acak,

X diskrit E(X-µ)²=∑(X-µ)²P(X=x)

X kontinu E(X-µ)²=∫(X-µ)²f(X=x)

nilai harapan kuadrat simpangan variabel acak menunjukkan varians variabel acak tsb, menyatakan persebaran nilai-nilai variabel acak dari pusat variabel acak µ. Nilai harapan kuadrat simpangan dilambangkan dengan σ².

ILUSTRASI VARIABEL DISKRIT

Pengamatan memperlihatkan bahwa banyak kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap menit mengikuti distribusi peluang sbb :

Banyak kendaraan	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Peluang	0,01	0,05	0,10	0,28	0,22	0,18	0,08	0,05	0,03

Berapa peluang dalam satu menit paling sedikit ada 3 kendaraan yang melalui tikungan itu?

Berapa rata-rata tiap menit terdapat kendaraan yang melalui tikungan itu?

ILUSTRASI VARIABEL KONTINU

Masa pakai, dinyatakan dengan X, untuk semacam alat dapat dilukiskan oleh fungsi densitas eksponensial dengan persamaan :

f(x)=½exp (-½x), x≥0, dalam bulan dan exp=2,7183

Tentukan peluang sebuah alat demikian yang dipakai selama :

1. Antara 3 dan 3½ bulan
2. Lebih dari 3 bulan
3. Tentukan pula rata-rata masa pakainya.

DISTRIBUSI BINOMIAL

Tindakan binom adalah tindakan yang hasilnya terdiri dari dua katagori. Kedua hasil tersebut biasanya dinyatakan sebagai “sukses” dan “gagal”, sukses dinyatakan dengan angka 1 dan gagal dinyatakan dengan anggka 0. Apabila tindakan binom ini diulang sebanyak n kali sedangkan peluang sukses pada setiap ulangan tetap, dan antar ulangan bebas satu sama lain, maka “banyaknys sukses” diantara n ulangan tsb merupakan variabel acak binomial. Nilai yang mungkin dari variabel acak tsb adalah X={0,1,2,...,n} dan P(X=x)=.... (fungsi probabilitas) .

ILUSTRASI DISTRIBUSI BINOMIAL

•       Apabila peluang sukses dari suatu tindakan binom adalah 0,4 dan X adalah variabel acak binomial dari enam kali tindakan binom tsb, maka :

1. P(X=4)= ... ?
2. P(X≥5)= ... ?
3. P(X<5)= ... ?
4. P(X=8)= ... ?

•       Apabila dalam suatu populasi mahasiswa diketahui proporsi yang mengenakan kacamata adalah 0,2. Dari populasi tsb ditarik sampel acak sebanyak 10 mahasiswa, maka peluang :

1.      sedikitnya ada 4 orang dari sepuluh yang terpilih tsb memakai kacamata P(≥4)= ... ?

2.      tak seorangpun yang memakai kacamata P(X=0)= ... ?

Berdasarkan definisi nilai harapan/rata-rata dan varians variabel acak binomial adalah µ=np; σ²=np(1-p)

DISTRIBUSI POISSON

•       Apabila kejadian binom tadi diamati pada interval waktu atau luasan tertentu, maka banyaknya sukses pada selang waktu atau luasan tsb menyebar menurut distribusi Poisson.

•       Apabila rata-rata banyaknya sukses dalam interval pengamatan tsb diketahui, katakanlah sebesar λ, maka distribusi poisson yang menyakatan sukses sebanyak x pada interval tertentu adalah :

•       P(x,λ)=....(fungsi probabilitas)

ILUSTRASI DISTRIBUSI POISSON

Apabila banyaknya kecelakaan pada suatu perempatan jalan diketahui berdistribusi Poisson dengan rata-rata dua kali per tahun, maka :

Peluang tidak terjadi satupun kecelakaan pada perempatan tsb pada tahun tertentu adalah...

Peluang ada empat kecelakaan atau lebih pada tahun tertentu adalah...

Nilai harapan/rata-rata dan varians distribusi Poisson adalah λ

CONTOH SOAL

1.         Berdasarkan pengalaman sebelumnya, PT Selaras mengetahui bahwa peluang perusahaan tsb memenangkan tender sebesar 0,6. jika bulan ini PT Selaras mengikuti 7 tender maka tentukanlah peluang perusahaan tsb :

            a. Memenangkan 4 tender

            b. Memenangkan lebih dari 2 tender

            c. Kalah dalam semua tender

DISTRIBUSI NORMAL

•       Distribusi normal adalah distribusi variabel acak kontinu dengan mengambil nilai mulai -∞ sampai dengan +∞ dengan fungsi densitas f(x)=...

•       Sifat-sifat penting distribusi normal :

1. grafiknya selalu ada di atas sumbu datar        
2.  bentuknya simetrik terhadap x=μ
3.  mempunyai satu modus (kurva unimodal) tercapai pada x=μ sebesar 0,3989/σ
4.  grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x=μ+3σ ke kanan dan x=μ-3σ ke kiri
5.  luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.

DISTRIBUSI NORMAL BAKU

Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang mempunyai parameter lokasi nol dan parameter bentuk 1, dengan fungsi densitas, f(z)=...

Secara khusus variabel ini dilambangkan dengan Z dan setiap variabel acak X dari suatu dist normal dengan µ dan σ tertentu dpt ditranformasikan menjadi variabel normal baku dengan fungsi Z=X-µ/σ.

ILUSTRASI DISTRIBUSI NORMAL BAKU

Apabila diketahui bahwa tinggi badan laki-laki Indonesia menyebar menurut  dist normal dengan rata-rata 165 cm dan simpangan baku 7 cm, maka dari satu penarikan acak tertentu :

peluang didapatnya seorang laki-laki Indonesia yang tingginya antara 150 dan 180 cm adalah P(150<X<180)=...

peluang diperolehnya seorang laki-laki Indonesia yang tingginya lebih dari 180 cm adalah P(X>180)=...

peluang diperolehnya seorang laki-laki Indonesia yang tingginya kurang dari 150 cm adalah P(X<150)=...

BEBERAPA PENDEKATAN DISTRIBUSI

•       Pendekatan normal terhadap variabel binomial

•       Untk ulangan n yang besar dan peluang sukses p yang tidak jauh dari 0,5 dist binomial dpt didekati dgn dist normal

•       Ilustrasi :

Dalam suatu populasi lalat buah , diketahui 25% diantaranya memiliki mata merah. Jika dipilih secara acak 500 ekor lalat buah, berapakah peluangnya didapatnya lalat buah yang bermata merah :

            1. kurang dari 100 ekor?

            2. lebih dari 150 ekor?

            3. kurang dari 150 ekor tetapi lebih dari 100?

Pendekatan Binomial melalui Poisson

•       Utk ulangan yang besar dengan peluang yang sangat kecil atau sangat besar dist binomial dpt didekati dengan distribusi Poisson.

•       Ilustrasi :

            Peluang seorang perempuan mengalami masalah pada waktu melahirkan yang memerlukan penanganan bedah sesar adalah 0,0032.  Dari 357 perempuan yang melahirkan di suatu kota, berapakah peluang banyaknya yang mengalami masalah tsb :

            lebih dari 4?

            kurang dari 2?

            tak seorang pun?

DALIL LIMIT PUSAT

Untuk ukuran sampel yang besar, biasanya n lebih atau sama dengan 30, maka sebaran nilai rata-rata sample dari suatu sampling menyebar menurut distribusiNormal. Dengan demikian jika suatu sampel besar dari variabel acak yang mempunyai nilai rata-rata µ dan σ², maka :

 Rata-rata (X)=N(µ,σ⁄√n) sehingga

{Z=(X-µ)/n/√n}=N(0,1) merupakan variabel acak Normal Baku.

ILUSTRASI

Apabila dari suatu variabel acak yang mempunyai rata-rata 50 dan simpangan baku 10 ditarik sampel acak berukuran 35, maka :

1. peluang diperolehnya sampel yang rata-ratanya lebih dari 55 atau kurang dari 45 adalah ?

2. peluang diperolehnya sampel yang rata-ratanya antara 45 dan 55 adalah ?

DISTRIBUSI t-STUDENT

•       Apabila X merupakan variabel acak Normal (µ,σ) maka rata-rata (X) akan berdistribusi Normal (µ,σ/√n) sehingga Z =(X-µ)/σ/√n) merupakan variabel acak normal baku. Pada penerapannya, simpangan baku variabel acak σ, sering kali tidak diketahui dan diganti dengan penaksirnya, yaitu simpangan baku sampel s :

•       t=X-µ/s/√n tidak lagi merupakan variabel acak normal baku, tetapi merupakan variabel acak lain yang dinamakan variabel T-student dengan derajal bebas v=(n-1)

ILUSTRASI

•       Apabila rata-rata (X) berdistrisi Normal dengan µ=50, maka untuk sampel berukuran n=10

•       Lihat t-student untuk beberapa nilai α, yaitu nilai t dengan P(t>tα,v)=α

•       t 0,05,v=1,83; P(t>1,83Іv=10-1=9)=0,05

•       Apabila sampel acak tertentu mempunyai rata-rata X=50 dan s=10 maka P(X>60)= ...<0,05

•       Apabila sampel acak tertentu mempunyai rata-rata X=40 dan s=9 maka P(X>40)=... >0,05

DISTIBUSI CHI-KUADRAT

•       Apabila X berdistribusi Normal (µ,σ) maka χ²=(n-1)S²/σ² akan berdistribusi Chi-Kuadrat dengan dk v=n-1,χ²(v)

•       Digunakan antara lain dalam uji kebebasan antar dua variabel katagori.

•       Z≈N(0,1) à Z²≈χ²(1)

DISTRIBUSI F

•       Apabila X adalah variabel acak normal n(x;µ,σ) dan Y adalah variabel acak n(y;µ,σ), sedangkan S²x dan S²y masing-masing adalah varians sampel n dan m, masing-masing dari populasi X dan Y, maka F=(S²x/σ²x)/(S²y/σ²y) mengikuti distribusi F-Snedecor dengan dk p=n-1 dan p=m-1.

•       Digunakan antara lain dalam Uji Anava dan Analisis Regresi.